X
تبلیغات
آموزش ریاضی - گروه آموزش ریاضی در باره اعداد اول

آموزش ریاضی

گروه آموزش ریاضی در باره اعداد اول

 

گروه آموزشي رياضي

 

درباره ي اعداد اول

 

در بين اعداد طبيعي بزرگتر از يك يعني ...و 4و3و2 اعدادي وجود دارند كه تنها بر يك و خود بخش پذيرند، اين اعداد را اعداد اول مي نامند. اعداد اول مبنايي براي همه ي عددهاي طبيعي است ، به اين معني كه هر عدد طبيعي به صورت حاصل ضرب تواني از اعداد اولي است كه مقسوم عليه هاي اين عددند. به عنوان مثال  . نخستين هفت عدد اول متمايز عبارتند از: 2و3و7و11و13و17. اينك اين سؤال پيش مي آيد كه آيا اين رشته از اعداد مختوم است يا اينكه تا بي شمار ادامه دارد. به عبارت ديگر آيا بزرگترين عدد اول وجود دارد يا نه. جواب اين است كه بزرگترين عدد اول وجود ندارد. اين موضوع از عصر طلائي يونانيان مكشوف بوده و توسط اقليدس در سه قرن قبل از ميلاد به اثبات رسيده است. استدلال وي بي اندازه ساده و مبرهن است و هنوز هم تازگي خود را حفظ كرده. پس از اثبات نامتناهي بودن مجموعه ي اعداد اول سؤالاتي ديگر در مورد اين اعداد مطرح مي شود، كه به بعضي از آنها پاسخ داده شده ، ولي برخي هم همچنان بي جواب باقي مانده اند. در اين جا چند نمونه از اين سؤالات مورد بررسي قرار مي گيرند، و ضمناً برهان اقليدس نيز ارائه خواهد گرديد.

معلوم نيست كه مفهوم اول براي اولين بار در چه زماني طرح شده است و چه مدتي سپري گشته تا از مطالعه در خواص اوليه چنين اعدادي به نامتناهي بودن آن پي برده شود. شايد پس از نخستين ملاحظات تجربي و نيز مطالعه ي عملي در خواص اعدادي چون 2و3و11و17 اين سؤال طبعاً پيش آمده است.

برهان ذيل، براي اثبات نامتناهي بودن رشته ي اعداد اول هنوز هم از ساده ترين برهان ها در اين زمينه است. فرض كنيم كه چنين نباشد در اين صورت ، عدد اولي مانند p وجود دارد كه از هر عدد اول ديگر بزرگتر است. اينك  را در نظر مي گيريم اين عدد بر هيچ يك از اعداد ( )بخشپذير نيست . چون m يك عامل اول دارد و اين عامل در بين اعداد ( )نيست پس عامل اولي به غير از اعداد ياد شده دارد و اين با فرض ما در تناقض است. اين نتيجه ي ظريف و زيباي اقليدسي ، كه ضمناً برهانش هم بسيار ساده است ، يكي از اولين نمونه ي برهانهاي مشهود رياضي است كه به طريقه ي برهان خلف صورت گرفته است. پس ازبررسي اين حكم سؤالات تازه اي مطرح مي شود، و پاسخ به اين سؤالات منجر به نتايج و ملاحظات ديگري مي گردد. به عنوان مثال ، با بكار بردن مفهوم « فاكتوريل» مي توان متقاعد شد كه همواره يك رشته ي بقدر كافي طولاني از اعداد طبيعي متوالي كه اول نباشد وجود دارد. در واقع به ازاي هر n مفروض مي توان n عدد متوالي ، با در نظر گرفتن اعداد طبيعي : n!+2,n!+3,n!+4,…,n!+n به دست آورد؛ اين اعداد جملگي مركب اند (غير اول). زيرا اولي بر 2 ودومي 3 و سومي 4 و n امي برn بخش پذير است.

هر گاه موضوع را بيشتر تعقيب كنيم، به شگفتي اين اعداد و خصيصه ي مسائل مربوط به آن پي خواهيم برد، به تدريج مسائل جديد مطرح مي شوند و اين مسائل ، مسائل جديد ديگري را پيش مي آورند كه عموماً پاسخ به بعضي از آنها چندان هم ساده نيست.

از بين مسائل معروف اعداد اول ، مقدماتي ترين آنها مسئله ذيل است: در مورد اعداد طبيعي زوج به امتحان ملاحظه شده است كه قابل نمايش به صورت حاصل جمع دو عدد اول است. « كريستيان گلدباخ» رياضيدان آلماني حالت كلي را حدس زد. يعني به حدس اظهار داشت كه هر عدد طبيعي زوج بزرگتر از 2 قابل نمايش به صورت حاصل جمع دو عدد اول است. ( اين موضوع در گلچين رياضي هم آمده) تا عصر حاضر اين حدس به يقين مبدل نشده است و رياضيدانان موفق به اقامه ي برهان براي آن نشده اند. صحت اين حكم براي اعداد طبيعي زوج كوچكتر از 108 محقق شده است. ( تا سال 1968)

با بكار بردن ماشينهاي الكتريكي محاسبه ، مي توان آمارهايي فراهم آورد براي نشان دادن اينكه به چند طريق مي توان يك عدد زوج مانند 2n به صورت حاصل جمع دو عدد اول نوشت ، عده ي طرق با بزرگ شدن n بزرگ مي شوند. در حال حاضر رياضيدانان روسي « ايوان ماتويويچ ويورگرادوف» ثابت كرده است كه هر عدد طبيعي فرد بقدر كافي بزرگ ، قابل نمايش به صورت حاصل جمع سه عدد اول است. فرمولي كه بوسيله آن بتوان هر عدد اول بقدر كافي بزرگ را به دست آورد، وجود ندارد. البته عبارت هايي در دست است كه از روي آن مي توان عده اي از اعداد اول را تعيين كرد. به عنوان مثال فرمول اويلر در دست است كه از روي آن مي توان عده اي از اعداد اول را تعيين كرد. به عنوان مثال فرمول اويلر  به ازاي  اعداد اول متمايزي به دست مي دهد . همچنين معلوم نيست كه تعدادي نامتناهي از اعداد اول دوقلو ، يعني اعداد اولي كه تفاضل آنها 2 باشد مانند 5و7 ، 11و13، 29و31 و غيره وجود دارد يا نه. اينها نمونه هايي هستند از مسائلي ساده در اعداد اول كه بطور طبيعي مطرح مي شوند و اگر چه صورت ظاهري آنها ساده به نظر مي رسد، اثبات آنها غالباً دشوار است و اين امكان وجود دارد كه با معلومات رياضي عصر ما ثابت نگردند.

اما در مورد حكمي كه اخيراً ذكر شد، اطلاعاتي در دست است. به عنوان مثال، معلوم گشته كه رشته ي اعداد اول به صورت 4k+1 و4k+3 نامتناهي است. به طور كلي ثابت شده كه در تصاعد حسابي ak+b،كه در اين a وb  نسبت به هم اولند و k=1,2,3,…  يك تعداد نامتناهي عدد اول وجود دارد.

 

* لئوپولد كرونكر رياضيدان آلماني اظهار داشته است كه خداوند اعداد صحيح را آفريد و بشر باقي رياضيات را. *

 

 

+ نوشته شده در  یکشنبه بیست و دوم فروردین 1389ساعت 14:1  توسط بهنام دادرس  |